Hallo, guten Morgen allerseits. Wir schauen uns gerade nochmal das Beispiel von zwei gekoppelten

harmonischen Oszillatoren an. Wir haben uns schon überlegt gehabt, was passiert, wenn

die Oszillatoren in Resonanz sind. Wenn man dann einen anregt, dann wird die Energie langsam

hin und her pendeln zwischen den beiden Oszillatoren. Und wir wollten uns anschauen, was passiert

im allgemeinen Fall. Also zum Beispiel, wenn die nicht resonant sind. Und man kann sich

schon irgendwie physikalisch vorstellen, wenn die nicht resonant sind, dann wird die Energie

typischerweise nicht übertragen. Das heißt nicht, dass überhaupt nichts passiert. Wir

werden sehen, so ein klein wenig wird der zweite Oszillator schon noch angeregt, aber

nur ein klein wenig. Und dann kann man sich fragen, was bedeutet das in Resonanz oder

aus der Resonanz. Wenn zum Beispiel die Frequenzen nur leicht verschieden sind, ist das dann

auch schon aus der Resonanz. Und die Antwort wird sein, man muss immer vergleichen mit

der Stärke der Kopplung. Wenn die Differenz der Frequenzen deutlich größer ist als die

Stärke der Kopplung, dieses G, was wir eingeführt haben, dann kann man sagen, die sind außer

Resonanz. Und dieses Beispiel ist so wichtig, dass wir es nochmal durchgehen wollen, obwohl

wir ja gelernt haben, dass eigentlich diese zwei gekoppelten quantenmechanischen harmonischen

Oszillatoren zurückgeführt werden können auf das Problem eines Zweiniveausystems.

Und ich bin mir sicher, dass Sie in der Quantenmechanik I das Zweiniveausystem schon behandelt haben.

Trotzdem, das ist so wichtig. Wenn Sie Quantenphysik machen, dann kommt sozusagen jede Woche mindestens

einmal das Zweiniveausystem vor, dass wir es hier nochmal wiederholen wollen. Also das

sind unsere zwei Oszillatoren, wie immer gezeichnet als Pendel und dazwischen eine Kopplung. Und

ich schreibe jetzt schon diese Kopplungsrate G hin und nicht mehr die Federkonstante. Wir

hatten gesagt, das führt uns auf ein Zweiniveauproblem. Die Zweiniveaus entsprechen den beiden Pendeln

und haben dann entsprechend Energien h quer Omega 1 und h quer Omega 2 und eine Kopplungsstärke,

die eben durch G gegeben ist. Und so wie ich immer den Hamilton-Operator hingeschrieben

habe, steht im Hamilton-Operator minus G. Das hatte ich so gemacht, damit für eine echte

physikalische Federkopplung das G positiv wäre. Und wir hatten schon eine Konsequenz

davon gesehen, nämlich, dass die symmetrische Mode im resonanten Fall die tiefere Frequenz

hat, wie das sein sollte. Okay, die Eigenwerte bekommt man, wie bekannt, aus der Bedingung,

dass die Determinante von dieser Matrix minus Eigenwert mal Einheitsmatrix verschwindet.

Und dazu hatte ich am Ende der letzten Stunde noch hingeschrieben, was sich daraus dann

ergibt, nämlich, wir bekommen natürlich zwei Eigenwerte für diese Zweikreuz-Zwei-Matrix

und die haben die Gestalt. Da steht zunächst mal die mittlere Frequenz. Das ist sozusagen

ein gemeinsamer Offset, der kann hoch und runter geschoben werden. Und dann steht da

plus oder minus, jeweils für die beiden Eigenwerte. H quer mal eine Wurzel. Und in dieser Wurzel

tauchen nun auf die Differenz der Frequenzen und die Kopplung. Und wenn man so will, kann

man dann sagen, na gut, Epsilon ist eine Energie, aber wenn ich es wieder als Frequenz ausdrücken

möchte, kann ich das H quer Omega nennen. Das wäre dann H quer Groß Omega eins oder

zwei. Das sind die neuen Eigenfrequenzen von den harmonischen Oszillatoren, wenn wir auf

diese Weise zu den Normalmoden übergehen. Okay, und wir hatten auch schon gecheckt,

was passiert, wenn ich zum Beispiel die Kopplung gleich Null setze, g gleich Null in der Formel,

dann kann ich nach dem Quadrat wieder die Wurzel nehmen. Da kommt gesträng genommen

der Betrag raus, aber weil ich plus oder minus habe, ist das ohnehin unwichtig. Und dann

habe ich einmal die Summe plus die Differenz, das gibt mir Omega eins insgesamt, und dann

die Summe minus die Differenz, das gibt mir Omega zwei. Das heißt tatsächlich, ohne

Kopplung komme ich wieder zurück zu den alten Frequenzen, wie das so sein muss. Wir werden

gleich nachher hinzeichnen, wie diese Eigenwerte aussehen, aber zunächst mal wollen wir uns

noch um die Eigenvektoren kümmern. Die Eigenvektoren sind ja einfach Lösung der Gleichung H tilde

mal Psi K hatten wir das glaube ich genannt ist gleich Epsilon K Psi K. Und das heißt,

diese Matrix muss auf den Eigenvektor wirken und dann muss dann Epsilon mal der Eigenvektor

rauskommen. Das ist eine reell symmetrische Matrix, das heißt, es ist garantiert, wir